Les enseignements de cette filière ont lieu à l’Univ. Lyon 1 et à Écully (École Centrale)
PREMIER SEMESTRE
1- « Analyse appliquée : des lois de la physique à l’analyse fonctionnelle »
UE obligatoire, commune aux quatre parcours ; 6 crédits.
- De la physique aux équations aux dérivées partielles. Deuxième loi de Newton. Bilan des forces (gradient de pression, viscosité, Coriolis, gravité). Loi de continuité. Les grandes équations : Navier-Stokes, Euler.
- Espaces de Sobolev. Grands théorèmes : injections, inégalité de Poincaré, théorème de Rellich. Extensions, calcul fonctionnel.
- Théorie variationnelle elliptique. Lemmes de Lions-Stampacchia et Lax-Milgram. Problèmes de Dirichlet et de Neumann. Théorie spectrale des problèmes aux limites. Méthode de Galerkin.
- Problèmes paraboliques. Construction de solutions approchées, estimations sur les solutions approchées et compacité. Passage à la limite.
- Problèmes hyperboliques scalaires. Notions de solutions faibles, non unicité. Solution entropique. Construction de solutions de viscosité.
- Prise en compte des conditions aux limites pour les problèmes elliptiques et paraboliques.
- Méthodes numériques : éléments finis, différences finies, volumes finis, méthodes spectrales. Comparaison entre les différentes approches.
2- « Modélisation stochastique et statistique »
UE obligatoire, commune aux quatre parcours ; 6 crédits.
Cette UE est composée de deux parties : une partie « Processus stochastiques, modèles et méthodes numériques » (20h CM), et une partie « Modélisation statistique » (16h CM). La partie 1 est un complément des cours de théorie des probabilités de L3 et M1, orienté vers la modélisation des phénomènes aléatoires dépendant du temps. Son but est de présenter d’une part les outils théoriques de la modélisation par processus de Markov et d’autre part les algorithmes classiques de simulation de ces processus. La partie 2 a pour objectif de présenter quelques modèles fondamentaux en statistique : le modèle linéaire tout d’abord, puis le modèle linéaire généralisé permettant de gérer des situations plus variées, et enfin les principaux modèles permettant d’aborder les données temporelles.
— Partie 1 : « Processus stochastiques, modèles et méthodes numériques »
Généralité sur les processus, mouvement brownien. Martingales. Intégrale stochastique. Equations différentielles stochastiques, équation de Kolmogorov pour les processus de diffusion. Approximation et simulation de diffusion. Méthodes de Monte Carlo par Chaînes de Markov pour la simulation. Processus de Poisson, Chaînes de Markov à temps continu. Notion de générateur.
— Partie 2 : » Modélisation statistique ».
Rappels sur le modèle linéaire multiple, l’inférence dans ce modèle et les tests associés, ainsi que l’analyse des résidus et la sélection de modèles. Modèle linéaire généralisé : théorie et inférence. Cas particulier de la régression logistique. Modèles pour des données temporelles. Rappels de séries chronologiques.
3- « Initiation au calcul scientifique intensif »
UE obligatoire, commune aux quatre parcours ; 6 crédits.
Ce cours a pour objectif de sensibiliser les futurs utilisateurs du calcul scientifique au développement de méthodologies de calcul sur les architectures contemporaines. Ces dernières ont un impact direct sur les performances en temps d‘exécution des algorithmes numériques. Cette problématique a conduit au développement et l’analyse de nouvelles méthodologies de calculs numériques, adaptées à ces architectures multicoeurs, pour la résolution d’EDP/EDO/EDA. L’accent sera mis à la fois sur l’aspect technologique et algorithmique, et sur leurs applications déterministes et stochastiques.
Programme du cours :
a) Introduction aux architectures de calcul :
Notions de base sur les architectures de calcul. Outils de programmation
: langages, compilation, optimisation. Aspects théoriques du calcul
réparti. Arithmétique flottante. Complexité, structures de données.
Langage C++
b) Algèbre linéaire :
Rappels sur les matrices, normes matricielles et le conditionnement.
Calcul de valeurs propres et vecteurs propres : méthode de la
puissance, puissance inverse Inversion de système linéaire : méthodes
directes méthodes directes par factorisation (LU, QR), méthodes
itératives classiques (Jacobi, de Gauss-Seidel et de relaxation), SOR,
méthode de Krylov, GMRES. Préconditionnement. Résolution des grands
systèmes linéaires creux, techniques de stockages creux. Résolution
de systèmes non-linéaires : méthode de Newton.
c) Méthodes de décompositions de domaines – mémoire distribuée (MPI) :
Décomposition de domaine de type Schur primal, décomposition de
domaine de type Schur Dual (FETI). Accélération de la convergence du
problème interface (GCR, GMRES). Méthodes de Schwarz généralisées,
Analyse de la convergence de ces méthodes (introduction de l’opérateur
de correspondance Dirichlet-Neumann), Analyse de la propagation de
l’erreur en espace, Accélération de la convergence de la méthode de
Schwarz par Aitken. Préconditionneurs parallèles RAS de méthodes de
Krylov. Décomposition de domaine en temps de problèmes non linéaires
(EDO), conditions de transmission pour le couplage de modèles.
d) Algorithmes stochastiques – mémoire partagée (openMP / R-parallel) :
Algorithmes embarrassingly parallel (bootstrap, Monte-Carlo),
ordonnancement des tâches et nombres pseudo- aléatoires en parallèle.
Parallélisation d’un algorithme de type Monte Carlo Markov Chain
(MCMC) et/ou d’un algorithme de classification de données (clustering
hiérarchique CAH). Algèbre linéaire creux pour les chaînes de
Markov. Utilisation de la mémoire et masse de données.
4- « Maillage et géométrie algorithmique »
UE associée à la filière « Vision/Image » 6 crédits.
Cette UE est mutualisée avec le master recherche informatique, spécialité « image », parcours « informatique graphique et image »
Programme du cours :
- Géométrie algorithmique :
- Notions élémentaires de GA en 2D (cartes planaires, triangulation, enveloppe convexe)
- Construction de l’enveloppe convexe en 2D : algorithme optimal (diviser et construire)
- Algorithmes incrémentaux
- Triangulation de Delaunay en 2D (et dual : diagramme de V oronoï) : définitions générales, propriétés.
- Algorithme optimal de construction de la triangulation de Delaunay (diviser et construire), et algorithmes incrémentaux ;
- Maillages 3D : génération de maillages, simplification et raffinement, améliorations de maillages et codage.
SECOND SEMESTRE
5- « Introduction aux mathématiques pour l’image »
UE associée à la filière « Vision/Image » ; 6 crédits.
Ce cours est une introduction aux modèles et techniques mathématiques utilisés en imagerie numérique (images fixes 2D, 3D ou vidéo). L’accent sera mis à la fois sur la modélisation de problèmes très variés (omniprésents en vision par ordinateur) et sur les outils mathématiques mis en œuvre pour les résoudre.
Programme du cours :
- Formation d’une image : acquisition et transformation discrète, couleurs, modèle de formation, défauts (géométriques, colorimétriques, fréquentiels, temporels) ;
- Débruitage: filtres locaux, filtres non locaux (moyennes non locales, BM3D) ;
- Compression: représentation parcimonieuse, JPEG ;
- Inpainting: lien avec la synthèse de texture, méthodes par patches, modèles EDP, modèles variationnels ;
- Fonctions à variation bornée, ensembles de périmètre fini, mesures de Hausdorff, et utilisation en traitement d’images (segmentation, débruitage, flot optique) ;
- Optimisation convexe, opérateurs proximaux, algorithmes d’optimisation ;
- Introduction aux réseaux de neurones: principes, mise en œuvre, applications au traitement d’image, questions d’approximation.
6 – « Problèmes inverses mal posés: modèles variationnels et méthodes numériques »
UE associée à la filière « Vision/Image » ; 6 crédits.
Un grand nombre de problèmes en traitement des images (restauration, segmentation, analyse, indexation, etc.) peuvent être modélisés sous la forme de problèmes variationnels continus de type « problèmes inverses ». Ces modèles sont difficiles à résoudre alors que les applications sont très nombreuses (imagerie médicale, imagerie satellitaire, robotique). Au cours des dernières années, des algorithmes très efficaces de résolution sont apparus. L’objectif du cours est d’offrir un panorama à la fois théorique et numérique sur ces questions.
Programme du cours :
- Introduction aux problèmes inverses en traitement des images, exemples linéaires et non linéaires.
-
Approches variationnelles
- Ajout de termes de régularisation (Tychonov, filtres isotropes et anisotropes, Perona-Malik)
- Régularisation par parcimonie (ondelettes, l1-variation totale)
Algorithmes de résolution
- Cas régulier : méthodes classiques (gradient, gradient conjugué, utilisation de l’état adjoint)
- Cas non lisse: approche duale, primale-duale (application à la variation totale), algorithmes ISTA et FISTA.
8- « Anglais scientifique »
UE obligatoire, commune aux quatre parcours ; 3 crédits.
Cette UE a pour objectif de faire acquérir aux étudiants des compétences en anglais scientifique, avec une focalisation plus particulière sur la rédaction de documents destinés à une publication dans des revues mathématiques. L’enseignement s’effectuera sous la forme de lectures commentées d’articles, de rédaction de rapports et de présentations orales, le tout en anglais.
9- « Stage d’initiation à la recherche en ingénierie mathématique »
UE obligatoire, commune aux quatre parcours ; 21 crédits.
Le stage est encadré par un enseignant du master et un cadre de l’entreprise ou du laboratoire d’accueil. L’étudiant devra prendre en charge :
- la recherche d’un stage dans une entreprise ou un laboratoire d’accueil pour une durée de 16 semaines minimum,
- la rédaction d’un mémoire de synthèse structuré,
- la soutenance orale de ce mémoire devant un jury composé au minimum des deux directeurs de stage.
Cette UE inclut aussi des cours de bureautique, préparation de CV, recherche de stage et d’emploi. Par ailleurs, elle inclut une initiation à la recherche par la participation à une série de séminaires de recherche.