Les objectifs ici sont triples : vous initier à la fois aux outils mathématiques, à la modélisation, et à plusieurs aspects de la biologie. Vous pourrez ainsi acquérir
- des bases solides permettant d’analyser mathématiquement un large spectre de problèmes mathématiques appliqués à la biologie et la médecine.
- des connaissances liées à la modélisation (modèles discrets, continus, déterministes, stochastiques, hybrides, et multi-échelles).
- des connaissances en biologie sur des thèmes spécifiques
Les cours de cette majeure sont associés à
– une séquence de remise à niveau
– un tronc commun au premier semestre
– deux autres cours à choisir parmi ceux proposés dans les autres majeures (voir la page d’accueil pour la liste complète).
Epidémiologie
- Modèle de Hamer
- Modèle de Kermack – Mc Kendrick
- Les modèles de type SEIR, SIS, SIRS etc..
- Analyse mathématique de modèles épidémiologiques déterministes
- Taux de reproduction de base R0 par la matrice de seconde génération
- Etude de la stabilité du modèle SIR, SIER, SIET (avec traitement)
- Etude de modèles à plusieurs souches
- Etude d’un modèle vecteur-hôte
- Simulations numériques sur les différents modèles abordés
- Dérivation de modèles spatiaux
- Application au modèle de la rage dans une population de renards ( Källén et al.)
- Outils: EDO, EDP structurées
- Applications épidémio: modèles compartimentaux et modèles de réaction-diffusion
Biologie évolutive théorique
Objectifs scientifiques : Montrer un point de vue croisé de biologistes et de mathématiciens sur des questions fondamentales de biologie évolutive. Le cours sera structuré par thématique biologique et par technique mathématique (aléatoire, déterministe, analyse multi-échelle).
Contenu :
- Modèles basiques de génétique des populations (Wright-Fisher, Moran), dérive génétique et sélection, limite de diffusion.
- Processus ancestraux, coalescent de Kingman, graphes de recombinaison et de sélection, coalescent multi-espèces.
- Dynamique adaptative, équation canonique et équilibres évolutifs.
- Modèles intégro-différentiels pour la génétique quantitative, régime asymptotique de faible variance, équations de Hamilton-Jacobi,
- Applications à des question de recherches récentes :
- en épidémiologie évolutive
- en génomique évolutive et en évolution moléculaire
- application à l’adaptation d’une population à un changement d’environnement
Dynamique cellulaire et systèmes complexes
Partie I :
- Modèles de régulation du cycle cellulaire :
- Oscillateur mitotique de Goldbeter
- Modèle de Tyson et Novak
- Modèle de Norel et Agur
- Modèles à deux phases prolifération et quiescence
- Modèle de Smith-Martin
- Modélisation de l’hématopoïèse normale et pathologique
- Modèle de réplication intracellulaire d’agents pathogènes, dynamique cellulaire et réponse immunitaire
Partie II :
Chapter 1: Stochastic Processes and the birth-death process
Équation maîtresse, Équation de Fokker-Planck, Algorithme de simulation stochastique. Lien avec les systèmes déterministes. Exemples de modèles de prolifération cellulaire
Chapter 2: Nonlinear Systems of ODEs
Existence/unicité des solutions, Théorème de Hartman-Grobman, Linéarisation et stabilité linéaire, Classification des points fixes, Bifurcations de co-dimension 1 et 2 pitchfork, col-nœud, transcritique, Hopf, systèmes bistables. Étude numérique avec logiciels d’analyse de stabilité et de continuation de bifurcation. Exemples de la dynamique des populations cellulaires (dynamique du HIV, croissance tumorale, cycle cellulaire).
Chapter 3: Discrete Systems
Existence/unicité des solutions, Linéarisation et stabilité linéaire, comparaison avec les EDO, Application de Poincaré, Bifurcations de doublement de périodes, Chaos. Applications : Équation logistique, Matrices de Leslie.
Chapter 4: Large Soupled Systems and Collective Dynamics
Oscillateurs (oscillateur de phase, modèle de Goodwin), Réseaux, Synchronisation d’oscillateurs. Étude du Modèle de Kuramoto, Entrainement de systèmes périodiques. Exemples et étude numérique de modèles pour la synchronisation d’oscillateurs circadiens, synchronisation du cycle cellulaire par l’horloge circadienne.
Chapter 5: Selected Topics – méthodes numériques…
Modélisation en écologie spatiale
Mots-clés : modélisation mathématique stochastique et déterministe, écologie spatiale, changements d’échelle microscopique-macroscopique, réaction-diffusion, phénomènes de propagation, motifs
0) Présentation des applications et/ou d’interventions extérieures.
1) Modélisation stochastique de populations spatialisées (3h), introduction aux changements d’échelles micro/macro (2h).
2) Fisher-KPP (principe du maximum, ondes progressives, propagation des solutions issues de conditions initiales à support compact) (3h), extension aux équations bistables (1h), extension à Lotka-Volterra compétitif (1h).
3) Instabilités de Turing (5h)
Descriptif :
Ce sous-bloc vise à présenter une famille de modèles stochastiques et déterministes utilisés notamment en écologie spatiale mais aussi dans d’autres champ de la biologie mathématique comme l’évolution darwinienne ou la morphogénèse. On partira de modèles stochastiques microscopiques décrivant finement le comportement et le cycle de vie d’individus dans une population et, après changement d’échelle, on étudiera des équations et systèmes d’équations de réaction-diffusion macroscopiques décrivant, dans un premier temps, l’invasion de nouveaux territoires et, dans un second temps, la formation de motifs spatialement hétérogènes.