Vous serez initiés aux problèmes et défis rencontrés en climat, environnement et géosciences, et l’on suscitera à travers cette année de M2 une réflexion propice au développement d’un esprit de recherche. Cette formation a pour objectif de prendre en compte les difficultés d’échanges entre mathématiciens du milieu académique d’une part, et spécialistes des risques industriels, climatologues et utilisateurs de modèles d’autre part, et de permettre aux étudiants titulaires de cette spécialité du master d’apporter des réponses innovantes et précieuses aussi bien d’un point de vue théorique que pratique.
Les cours de cette majeure sont associés à
– une séquence de remise à niveau
– un tronc commun au premier semestre
– deux autres cours à choisir parmi ceux proposés dans les autres majeures (voir la page d’accueil pour la liste complète).
Modélisation pour l’évaluation de risques liés au changement climatique
Présentation de modèles probabilistes permettant de traiter de la dépendance spatiale, et également la dépendance spatio-temporelle lorsque cela est possible.
Etudes de phénomènes aléatoires localisés et structurés dans l’espace.
Traitement statistique de ces modèles : inférence sur les paramètres et méthodes de simulation.
Spécificités induites par le changement climatique.
Mots-clés : modèles de dépendance spatiale, géostatistique, krigeage, modèles de valeurs extrêmes, méta-modèles, non stationnarité.
Equations de la mécanique des fluides et leurs approximations numériques
1) Équations de la mécanique des fluides et leurs propriétés:
– Navier-Stokes (compressibles, incompressibles, solutions fortes, solution faibles)
– Euler compressible (solutions faibles, condition d’entropie)
– Saint-Venant pour les écoulements en eaux peu profondes
2) Méthodes de Volumes finis pour les équations de la mécanique des fluides.
– Schémas VF pour Euler et Saint-Venant : en 1D : schémas conservatifs, théorème de Lax-Wendroff, solveurs de Riemann. Robustesse et condition d’entropie discrète. Extension des schémas VF en multi-D.
– Schémas VF pour la diffusion.
3) Applications : à choisir parmi
- (i) Service hydrographique de la marine ;
- (ii) Barrages (EDF) propagation incertitudes écoulements… ;
- (iii) Modèles d’avalanches
- (iv) Implémentation pratique et l’optimisation de code
- (v) Modèle d’écoulements diphasique : écoulements accidentels dans l’industrie nucléaire civile ;
Modélisation en écologie spatiale
Mots-clés : modélisation mathématique stochastique et déterministe, écologie spatiale, changements d’échelle microscopique-macroscopique, réaction-diffusion, phénomènes de propagation, motifs
0) Présentation des applications et/ou d’interventions extérieures.
1) Modélisation stochastique de populations spatialisées (3h), introduction aux changements d’échelles micro/macro (2h).
2) Fisher-KPP (principe du maximum, ondes progressives, propagation des solutions issues de conditions initiales à support compact) (3h), extension aux équations bistables (1h), extension à Lotka-Volterra compétitif (1h).
3) Instabilités de Turing (5h)
Descriptif :
Ce sous-bloc vise à présenter une famille de modèles stochastiques et déterministes utilisés notamment en écologie spatiale mais aussi dans d’autres champ de la biologie mathématique comme l’évolution darwinienne ou la morphogénèse. On partira de modèles stochastiques microscopiques décrivant finement le comportement et le cycle de vie d’individus dans une population et, après changement d’échelle, on étudiera des équations et systèmes d’équations de réaction-diffusion macroscopiques décrivant, dans un premier temps, l’invasion de nouveaux territoires et, dans un second temps, la formation de motifs spatialement hétérogènes.
Graphes et réseaux écologiques
Un graphe, dont les origines remontent au 16ème siècle, est un objet mathématique particulièrement utilisé depuis l’émergence de l’étude des réseaux, c’est à dire l’étude de relations entre des entités que l’on peut modéliser par un graphe. Depuis les réseaux sociaux jusqu’au réseau internet, l’objet graphe est prépondérant dans l’analyse de nombreux jeux de données. Or, les relations dans les écosystèmes, depuis les relations entre espèces (prédation, interaction entre plantes et pollinisateurs, etc…) jusqu’aux relations sociales entre individus (socialité chez les primates, etc…), offrent un champ d’application de la modélisation par graphe et de l’étude des réseaux.
Dans ce cours, nous découvrirons le cadre conceptuel hérité de la théorie des graphes et de la science des réseaux, pour découvrir des problématiques de recherche moderne autour de l’étude des écosystèmes. Ce cours convoquera des méthodes des mathématiques discrètes, des statistiques et du machine learning.
Le cours sera partagé entre des ‘études de cas en écologie’ et des ‘éléments théoriques’.
Eléments théoriques: Bases / définitions (graphe, chemin, etc…) – Métriques – Techniques de clustering – Méthodes spectrales – Modèles de graphes aléatoires – Modèles graphiques (inférence de graphes) – Traitement de signal sur graphe – Graphes multi-couches (temps, espace, type de liens) – Techniques d’embedding (optionnel)
Etude de cas sur données réelles : Réseau de contact entre animaux. Réseau d’interaction entre espèces en milieu marin et/ou montagnard. Réflexion sur la pertinence de la prise en compte d’un graphe pour le maintien de la biodiversité.